Resumen del libro capítulo 2

 CAMPOS MAGNÉTICOS Y ELÉCTRICOS

2-1 INTRODUCCIÓN:

En este capítulo es una introducción a los campos magnéticos y eléctricos, para formar un puente desde la teoría de circuitos hasta las líneas de transmisión, ondas y sistemas inalámbricos.

La teoría de circuitos incluye los resistores, los capacitores y los inductores como dispositivos de dos terminales conectados por alambres. La teoría del campo trata del espacio interior y exterior de estos dispositivos proporcionando un entendimiento tridimensional de como se aplican en realidad.

Si el espaciamiento de los conductores de una línea de transmisión se incrementa lo suficiente, la mayor parte de la energía sale de los conductores y se irradia al espacio, formando un sistema de radiación o una antena. Como esta energía va de los circuitos a los campos y de las líneas de transmisión, a las antenas, se sigue una secuencia lógica que lleva rápidamente a tópicos de gran importancia práctica.

2-2 CAMPOS ELÉCTRICOS

Carga eléctrica Q y campo eléctrico E.

La cantidad básica eléctrica es la carga Q. Una carga aislada está rodeada por un campo eléctrico que ejerce una fuerza en todas las demás cargas. Así una Q2 a una distancia r de una carga Q1, experimenta una fuerza determinada por la Ley de Coulomb como: 

donde: Q1= carga 1,C                                                                                                                                 

Q2= carga 2,C                                                                                                                                              

r= distancia radial de la carga 1 a la carga 2, m                                                                                          

^r= vector unitario en la dirección radial. sin dimensiones.                                                                        

 ε= permitividad (o constante dieléctrica), F m^-1

La permitividad ε esta convenientemente expresada como el producto de la permitividad ε0 del vacío multiplicada por un número sin dimensiones Er denominado permitividad relativa. Así:

                                                                            ε=εrεo                    

Donde εr= permitividad relativa y εo= permitividad del vacío= 8.85x10^-12 faradios/metro, Fm^-1. Para un material dieléctrico εr>1. Para el poliestireno εr= 2.7  por lo tanto su permitividad esta dado por

                                                       ε=εrεo= 2.7 x8.85x10^-12Fm^-1=23.9pFm^-1      

Para el aire a presión atmosférica   εr = 1.0006. Esto difiere muy poco de la del vacío, que para las situaciones más prácticas  εo=8.85x10^ -12 Fm^ -1 que toma como la permitividad de ambos, aire y vacío.

Al mover Q2 alrededor de Q1 como una sonda o carga de prueba, se puede explorar el campo eléctrico E alrededor de Q1. cómo se muestra en la figura, el campo es radial y disminuye con la distancia en 1 / r^ 2. Esta variación la sugiere la longitud de las flechas.

Líneas de cargas.

Una línea de carga de longitud 2a tiene una densidad lineal de carga pl (Cm ^-1). el elemento diferencial dz de la línea tiene una carga pl dz que produce un campo eléctrico dE en el punto P dado por 

Dónde pl = carga por unidad de longitud, C m ^-1. La componente de campo en la dirección r (perpendicular a la línea) es 

Por simetría la componente positiva y negativa de z suman cero y el campo radial de la línea en P es entonces la integral de dE, sobre la longitud 2a de la línea, o

Para una línea larga (a > r), la ecuación se reduce a

                                                                          

  2-3 Potencial eléctrico V y su gradiente E

El campo eléctrico E en un punto se define como la fuerza F por unidad de carga +Q en el punto. 

 

Al mover la carga +Q contra un campo E entre los 2 puntos a y b en la figura, se realiza un trabajo.

Este trabajo por unidad de carga es la diferencia de potencial eléctrico ΔV entre los puntos a y b. Las unidades están en joules por coulomb o voltios.

Una superficie o línea equipotencial es un contorno a lo largo del cual una carga se mueve con cero trabajo. La cantidad máxima de trabajo por unidad de distancia se presenta moviéndose normal o perpendicular a una superficie equipotencial en la dirección del campo eléctrico.

El trabajo para transportar una carga alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un campo estático es cero puesto que la trayectoria inicia y termina en el mismo punto.

Para resumir:

1. La integral de línea del campo E produce el potencia V entre dos puntos.

2.La integral de línea de E desde el infinito a un punto, produce el potencial absoluto del punto.

3. El gradiente de V produce el campo E en el punto.

Superposición de potencial

Como el potencial eléctrico escalar debido a una sola carga puntual, es una función lineal del valor de su carga, sí infiere que los potenciales de más de una carga puntual son linealmente superpuestos por la suma escalar (algebraica). Como una generalización, esto puede tomarse como el principio de superposición aplicado al potencial eléctrico cómo sigue: El potencial eléctrico total en un punto es la suma algebraica de los potenciales individuales en punto. Así, para las 3 cargas puntuales Q1, Q2 Y Q3, el potencial eléctrico total en el punto P está dado por:

Para la distribución de la carga lineal en la figura 2-7-1, el potencial en P está dado por:

Donde pl =densidad lineal de carga, C m-1 y dL=elemento diferencial de longitud de la línea, m. La integración se lleva a cabo sobre la línea completa de carga 

Si las cargas puntuales, la distribución lineal de carga, la distribución superficial de carga y la distribución volumétrica de carga de la figura se presentan simultáneamente, el potencial eléctrico total en el punto P debido a todas esas distribuciones es, por el principio de superposición, la suma algebraica de las componentes individuales de los potenciales. Así como en general:

2-4 Líneas de corriente de un campo Eléctrico y contornos equipotenciales; ortogonalidad.

Una línea de campo indica la dirección de la fuerza en una carga de prueba positiva introducido en el campo. Sí se libera la carga de prueba, si acelera en la dirección de una línea de campo. En un campo uniforme las líneas E son paralelas y las líneas equipotenciales forman un conjunto de líneas paralelas ortogonales. 

En realidad las líneas equipotenciales son superficies planas perpendiculares a E y para un incremento fijo del voltaje ΔV están espaciadas de manera uniforme. En un campo no uniforme las líneas E divergen al ir de una región de campo más fuerte a una más débil. Además para un incremento fijo del voltaje, como el de 10 V, las superficies equipotenciales se hacen más espaciadas a lo ancho en la región de campo más débil. Las líneas de campo eléctrico y equipotenciales son todas partes ortogonales (en ángulos rectos).

2-5 Líneas de transmisión multiconductoras.

Líneas de carga

Las líneas de transmisión se usan para transmitir potencia, señales de radio, de televisión e información. Son una parte vital de nuestra sociedad tecnológica.

2-6 Flujo eléctrico y densidad de flujo eléctrico (o desplazamiento): Ley de Gauss.

Carga de superficie, caso uniforme.

El flujo eléctrico a través de un área de superficie es la integral de la componente normal del campo eléctrico (multiplicado por E) sobre el área. 

En el campo uniforme E entre dos placas, la integral se reduce a un simple producto escalar. Así, el flujo sobre el área pequeña a es: 

y el flujo total entre las placas es:

donde ε= permitividad del medio, Fm^-1. Dividiendo el flujo eléctrico de entre el área A produce la densidad de flujo D o carga por unidad de área: 

                        

            Donde D= densidad de flujo, Cm^-2   

             E= campo eléctrico, Vm-1

            ε= permitividad, Fm^-1

            εo= permitividad del aire o vacío= 8.85x10^-12, Fm^-1

            εr=ε/εo=permitividad relativa, sin dimensiones

Cuanto más grande sea la permitividad, más grande será la densidad de flujo D para un campo eléctrico dado E. El significado del nombre se hace obvio si se dice que una mayor permitividad "permite" una mayor densidad de flujo

La densidad de flujo D también se denomina desplazamiento eléctrico, de aquí el símbolo D. 

En un medio isotrópico(las propiedades son independientes de la dirección)D y E están en la misma dirección y  ε es una cantidad escalar. En un medio anisótropo E y D pueden estar en diferentes direcciones y  ε es un tensor.

Carga de superficie, caso no uniforme

Volumen de carga y Ley de Gauss

Un cubo de densidad de carga volumétrica p(Cm^-3) y volumen V se  muestra en la figura, Integrando la densidad de flujo D sobre las 6 caras, se obtiene el flujo eléctrico total del cubo como una superficie integral.

La carga toral tambien está dada por la integral de volumen de la densidad de volumen de carga p por todo el cubo o.

Combinando integrales de superficie y volumen, se obtiene la Ley de Gauss para campos eléctricos, formulada por Karl Friedrich Gauss en 1813. Esta ley establece que la integral de densidad de flujo D sobre cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada. 

La ley de Gauss es un teorema básico de electrostática. Es una consecuencia necesaria de la ley del inverso cuadrado (Ley de Coulomb). Así, si para una carga puntual D no varia con 1/r^2, el flujo total sobre una superficie encerrada no será igual a la carga.