Resumen del libro Capitulo 2 Parte 2

 

Ley de Gauss.

Cualquier superficie cerrada, real o imaginaria, puede ser denominada superficie gaussiana. Así, la integral de superficie o doble con el círculo implica una superficie cerrada o gaussiana.

La Ley de Gauss es un teorema básico de electrostática Es una consecuencia necesaria de la Ley del inverso cuadrado (Ley de Coulomb). Así, si para una carga puntual D no varía con 1/r^2, el flujo total sobre una superficie encerrada no será igual a la carga.

DIVERGENCIA

De acuerdo con la Ley de Gauss, la integral de la componente normal de la densidad del flujo eléctrico D sobre una superficie cerrada produce la carga eléctrica encerrada Q. Así

Para incrementos de carga ∆Q y de volumen ∆v,

                                                       Donde Dn = densidad de flujo eléctrico normal a la superficie.

Si la densidad de carga no es uniforme en todo el ∆v, se tiene que en el límite en el cual el volumen ∆v tiende a cero.

donde div D = divergencia de D = p.

La divergencia de D produce la densidad de carga eléctrica p en un punto.

Div D tiene un valor dondequiera que la carga esté presente.

Considere el volumen cúbico de la figura con lados ∆r, ∆y, ∆z. Si la densidad de flujo eléctrico tiene sólo una componente en x, es decir, Dx con Dy = Dz = O, se tiene de la Ley de Gauss que

Tomando el límite de la ecuación en tanto ∆V tiende a cero, se tiene

donde div D = divergencia de D = p 

En general, cuando Dy y Dz no son cero,

Ecuaciones de Laplace y Poisson

2-8 Condiciones de Frontera; Medios Dieléctricos

La integral de línea del campo eléctrico estático E alrededor de una trayectoria cerrada es cero. Así, para ∆y —> 0 en la siguiente figura 2-18a,

De la Ley de Gauss, la integral de superficie D sobre una superficie cerrada es igual a la carga contenida. Así, para Ay —9 0 en la figura 2-18b,

2-9 Capacitores y capacitancia; Celdas capacitora

Las dos placas planas conductoras de la figura, forman un capacitor simple. Su capacitancia C está dada por:

A mayor carga Q para un cierto voltaje aplicado V, mayor será la capacitancia C. Suponiendo que la carga Q está uniformemente distribuida y que el campo entre las placas es uniforme:

donde A = área de la placa, m2                                                                                     ps = densidad de carga superficial, C m^-2                                       D = densidad de flujo eléctrico, Cm^-2                                                 E = campo eléctrico, V m^-1                                                                  e = permitividad del medio, F m^-1 Como V = Eh = Ed, la capacitancia C está dada por donde E, = permitividad relativa del medio = ε/εo (sin dimensiones). Así, la capacitancia está determinada por la geometría del capacitor: el área de la placa A, el espaciamiento entre las placas d y la permitividad ε del medio entre las placas. Esto es independiente del voltaje aplicado. Sin embargo, si se aplica un voltaje demasiado alto, el medio puede romperse y ocurrir una producción de chispas. De aquí que los capacitores usualmente no sólo se midan en faradios o en una subunidad de faradios, sino también en voltaje máximo de trabajo.    El área de la placa A = wl, así que                                                  Cuando w = h el capacitor se convierte en una celda capacitora Así, la capacitancia por unidad de longitud de una celda capacitora es igual a la permitividad del medio Energía en el capacitor y densidad de energía Un capacitor almacena una energía incremental dada por el producto del voltaje aplicado y la carga incremental Así, o una energía total donde Ah = volumen del capacitor, m3. Dividiendo entre este volumen, se obtiene la densidad de energía (que se supone uniforme) en el capacitor como